Similitudine

Definizione:

La similitudine è un’affinità per la quale risulta costante il rapporto tra due segmenti corrispondenti  qualsiasi

Dati due punti i loro trasformati.

 Il rapporto

Poiché il rapporto sia costante ed uguale ad un numero h, detto rapporto di similitudine, deve risultare

In conclusione si hanno queste due possibilità:

Esempio:

essa è la composizione della similitudine lineare diretta:

In figura si può osservare  il risultato della sua applicazione al quadrato unitario di vertice
O( 0 , 0 ) .

Osservazione:

In una similitudine il rapporto tra le aree di figure corrispondenti è il quadrato del rapporto di similitudine

TEOREMA:

In una similitudine si conservano gli angoli formati da due rette.

Dim:  Per semplicità di calcolo consideriamo una retta  e una retta  e una similitudine lineare diretta di equazioni:

I risultati ottenuti saranno generalmente validi poiché ogni coppia di rette incidenti può essere traslata in modo da portare il punto d’intersezione delle due rette a coincidere con l’origine degli assi e ogni altra similitudine diretta può essere ottenuta mediante una successiva traslazione.

L’angolo a formato dalle rette r ed s è tale che: 

Siano r’ ed s’ le trasformate di r e di s

ed ugualmente

L’angolo a’ formato dalle rette r’ ed s’ è tale che:

Se le rette sono parallele non è necessaria alcuna dimostrazione, perché le similitudini, come tutte le altre affinità, conservano il parallelismo.

Omotetie

Particolari similitudini lineari di equazioni:

  vengono dette omotetie lineari.

Un omotetia di questo tipo ha come unico punto unito l’origine degli assi che viene detto centro dell’omotetia .

Esempio.

Consideriamo l’omotetia di centro O(0,0) e rapporto 3

La sua equazione sarà: 

In figura si può osservare l’ingrandimento operato sul quadrato unitario.

Proprietà.

Le rette passanti per l’origine sono, tutte e sole, rette unite per la trasformazione

Infatti, presa una generica retta di equazione la sua trasformata mediante l’omotetia lineare sarà: ;

se  le due rette coincideranno solo per h=1 che rappresenta la trasformazione identica per cui tutte le rette sono unite, mentre

se t=0 la retta trasformata coinciderà con la retta iniziale per qualsiasi valore di h.

Se h>0, due punti corrispondenti nell’omotetia stanno sulla stessa semiretta, di origine O; se h<0 due punti corrispondenti nell’omotetia stanno su semirette opposte, di origine O.

Se , l’omotetia è un ingrandimento; se , l’omotetia è una riduzione:

Componendo un’omotetia lineare con una traslazione si ottiene un’omotetia di centro  di equazioni

poiché il centro è l’unico punto unito dovrà essere  :     da cui si ottiene

  .

Esempio:

consideriamo l’omotetia di equazione:

cerchiamone il centro:

In figura si può osservare l’ingrandimento del quadrato unitario.

Come si fa per:

Trovare l’equazione di una omotetia di centro C(x₀,y₀) e rapporto h.

1° modo

  si applica al punto P(x,y) la traslazione che porta il centro C in O:
 si applica a punto P₁(x₁ , y₁)  l’omotetia di centro O e rapporto h

  si applica al punto P₂(x₂ ,y₂) la traslazione che porta O in C :  

  Esempio:

Determinare l’omotetia di centro C(2,1) e rapporto 3

  1° modo              

2° modo

Si prende una omotetia generica , si sostituisce ad h  il valore assegnato e successivamente per determinare (p,q) si impone che C(x₀,y₀) sia un punto unito.

Esempio:

Determinare l’omotetia di centro C(2,1) e rapporto 3