Isometrie

Una particolare similitudine di rapporto h=1  è chiamata isometria

I° caso isometrie lineari        Classifichiamole in base ai punti uniti:

Partiamo da una similitudine lineare diretta di equazione:

           con    

   se P(x , y) è unito dovrà essere:

   e quindi     

il determinante della matrice incompleta associata al sistema è :   
quindi il sistema è determinato ed ha come unica soluzione O (0  ,0).   La trasformazione è detta:       isometria lineare diretta  e si tratta di una  rotazione attorno ad O.

Osservazione1:

Indicato con a l’angolo di rotazione, nella rotazione Â_O,a si ha  

e quindi la matrice corrispondente sarà :             

L’equazione di  Â_O,a  può essere scritta:

Esempio: Scrivere l’equazione della rotazione di 30° in senso antiorario attorno ad O(0 ,0)

              

Osservazione2

La composizione di due rotazioni Â_O,a   Â_O,b  attorno ad O(0 , 0) è ancora una rotazione attorno ad O(0 , 0) di un angolo a+b.

Consideriamo:

Consideriamo ora una similitudine lineare inversa di equazione:

             con       
se P(x , y) è unito dovrà essere:

 da cui      

e quindi    
il determinante della matrice incompleta associata al sistema quindi il sistema è indeterminato , ha soluzioni rappresentate dai punti della retta di equazione :
   che è l’asse di simmetria

 La trasformazione corrispondente è detta: isometria lineare inversa e si tratta di una  simmetria assiale 

Consideriamo una simmetria assiale S_r  di equazione y=mx vogliamo esprimerne l’equazione in funzione di m.

Per quanto già detto la matrice della trasformazione sarà del tipo o anche

        usando le formule parametriche si ha

tenendo conto che l’asse di simmetria è bisettrice dell’angolo a e che   l’equazione

 di S_r  sarà              

Esempio

Determinare la simmetria di asse y=2x 

          I° modo

 Poiché m=2 si ha:

II° modo:

Si parte dalla equazione generica della simmetria assiale:

  e si impone che un qualunque punto dell’asse ,

 per esempio (1,2) , sia unito:

III° modo:

Sappiamo che l’equazione dell’asse di simmetria è , nel nostro caso deve essere 2x-y=0 , confrontando e imponendo la condizione sul determinante si ottiene :

Osservazione:

La composizione di due simmetrie assiali , con assi passanti per O(0,0)

 è una rotazione attorno ad O(0 , 0) di un angolo b-a.

Infatti::

  Isometrie non lineari

Si ottengono dalla composizione di una isometria lineare con una traslazione secondo un vettore

I° caso

Sia Â_O,a   la rotazione di equazione:    e

Consideriamo :                              

 si chiama rototraslazione ed è una rotazione di a gradi attorno ad  un centro   che si determina cercando il punto unito della trasformazione

   
 

Cerchiamo il centro della rotazione:

Cerchiamo l’angolo di rotazione:

Come si fa per:

Determinare l’equazione di una rotazione di un angolo a attorno ad un centro

 C(x₀ , y₀ ).

I° modo:

si applica al punto P(x,y) la traslazione che porta il centro C in O:

si applica a punto P₁(x₁ , y₁)  la rotazione di un angolo a attorno ad O :

si applica al punto P₂(x₂ ,y₂) la traslazione che porta O in C :

Esempio:

                Determinare la rotazione  di 30° attorno a C(0,2) :

II° modo:

         Si parte dalla equazione di una generica rotazione   

         Si sostituisce ad a il valore assegnato e poi si impone che il punto C(x₀ , y₀) sia unito.

Esempio:

                Determinare la rotazione  di 30° attorno a C(0,2) :

II° caso

Sia s_r   la simmetria assiale di equazione:    

e  t_v la traslazione di equazione    :          

Consideriamo:     cerchiamo i punti uniti:

sappiamo già che :  per cui il rango della matrice incompleta è 1.

Affinché il sistema risulti possibile il rango della matrice dovrà essere uguale a 1 e perciò:

da questa condizione si deduce che :

 il vettore (p,q)  deve avere direzione perpendicolare a quella dell’asse di simmetria.

Esempio 1):

Consideriamo  la trasformazione di equazione:

Si tratta di una isometria inversa cerchiamo i punti uniti:

Ho una retta di punti uniti dunque si tratta di una simmetria assiale di asse:

In figura la trasformazione è stata applicata al quadrato unitario di vertice O(0,0)

Esempio 2)

Consideriamo  la trasformazione di equazione: essa si differenzia dalla precedente per il vettore traslazione

Cerchiamone i punti uniti :

Come si fa per :

Determinare l’equazione di una simmetria rispetto ad una generica retta y=mx+q

I° modo:

            si applica alla retta data una qualunque traslazione che la porti a passare per  O:  

si applica a punto P₁(x₁ , y₁)  la simmetria rispetto alla retta y=mx:

si applica al punto P₂(x₂ ,y₂) la traslazione che porta O in C : 

Esempio:

  Scrivere l’equazione della simmetria avente per asse la retta di equazione: 2x+3y-6=0

II° modo:

  Si prendono 2 punti a piacere sull’asse di simmetria e si impone che siano uniti per la

   trasformazione       

Nell’esempio precedente si considerano i punti  A(3,0)  B(0,2) appartenenti all’asse . Poiché sono uniti deve essere:

Conclusione

Una isometria generica può essere classificata in  base ai punti uniti :

un punto unito  :            rotazione

retta di punti uniti :      simmetria assiale

nessun punto unito :    glissosimmetria o una traslazione

osservazione

Ogni similitudine può essere vista come la composizione di una isometria con una omotetia e con una traslazione

esempio:

Consideriamo la similitudine di equazione

Si tratta della composizione di una rotazione attorno ad O(0,0) con una omotetia di rapporto 2 e una traslazione secondo il vettore (3,2)

In figura si osserva la trasformazione del quadrato secondo le trasformazioni descritte sopra.