Affinità

In un piano p è
dato un  sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy . Sono Affinità
 le trasformazioni   individuate da un sistema di equazioni del tipo:

 

In forma matriciale:                         

se poniamo:                                  

 

si ottiene:                                               1)           

Trasformazione inversa:
                                                             

Dalla 1) si ottiene:                                                               ossia ,

 essendo:                                                     

                    

                      

            Una affinità
particolare:   

                 

se     si ottiene :        

l’ affinità
è
detta Traslazione

In figura il quadrato unitario viene traslato secondo il vettore

 

Osservazione:

In conclusione una  qualunque affinità
                      
può
essere vista come :

 

  

 

 

 

esempio:

nella figura che segue possiamo osservare

come si trasforma un quadrato unitario

prendendo :

          

         

 

 

Proprietà
delle affinità
:

 

1)  Un’affinità
trasforma rette in rette

 Infatti alla retta  di equazione  mx+ny+ l=0  corrisponde
  
     
da cui si ottiene     

   
 che rappresenta una retta essendo un’equazione lineare in x’;   y’.

2)  In un’affinità
a rette parallele corrispondono rette parallele

 Date due rette

 1) mx+ny+l=0  e  2) rx+sy+t=0             

 tali che       

trasformandole con una affinità
si ottiene:

         

da cui

   1´
)     e

    

da cui

  2´
)

per le quali, ricordando che m=kr e n=ks, risulta: 

     e 

 3)  un’affinità
conserva il punto medio di un segmento

   Consideriamo un segmento di estremi A , B e il suo punto medio M ,  
    siano  A’ , B’ ,  M’ i rispettivi trasformati:

          

 

Si può
agevolmente verificare che M’  è
proprio il punto medio del segmento A’B’.

 4)  Le affinità
conservano il rapporto delle aree

Inizialmente determineremo l’area  del parallelogramma ottenuto trasformando un quadrato di lato unitario. Per semplicità
di calcolo, considereremo il quadrato posto nel primo quadrante, con due lati sugli assi cartesiani e un vertice sull’origine degli assi. Opereremo con un’affinità
lineare, ma i risultati saranno validi per un’affinità
qualsiasi poiché
un’affinità
  può
essere ottenuta componendo un’affinità
lineare con una traslazione , trasformazione che non altera le aree e i loro rapporti.

Indicati con O(0;0), A(1;0), B(1;1) e C(0;1) i vertici del quadrato i loro corrispondenti saranno O’(0;0), A’(a;c), B’(a+b;c+d) e C’(b;d).

Supposti a,b,c,d positivi, l’area K del parallelogramma O’A’B’C’ si ottiene sottraendo dall’area di un rettangolo le aree di due triangoli e di due trapezi.

I calcoli precedenti si possono generalizzare al caso di coefficienti di segno qualsiasi e si ottiene  .

Se il quadrato di area 1 si trasforma in una figura di area K, allora una figura qualsiasi di area S si trasforma in una figura di area S’ tale che:      da cui     , tale rapporto è
detto rapporto di affinità
.

 

Definizione:

Un punto (x , y )si dice unito in un’affinità
se è
il corrispondente di se stesso.

      Esempio:

      In ogni affinità
lineare l’origine O ( 0 , 0 ) è
un punto unito

      Nella affinità
di equazione:    il punto P (-1 , 2 ) è
unito

     

       Una retta r di dice unita per una data affinità
F se : F (r)=r

       Esempio:

       Nella affinità
di equazione:    la retta di equazione :  è
unita.

 

Come si fa per:

Ricerca di punti uniti:

     Data la generica affinità
di equazione :   un punto P (x , y ) è
unito se:

       ossia se il  seguente sistema  ha soluzioni

Ricerca di rette unite:

Osservazione : se una retta è
unita per una affinità
F lo è
anche per  la sua inversa F  ^-1 ,
pertanto si considera una generica retta di   equazione rx’+sy’+t=0   si trova la retta trasformata :

       

          Esempio    Determinare le rette unite della seguente affinità
:

 
Si trasforma la generica retta    * e si ottiene : dovrà
essere:  

     **
dalle prime due equazioni  si ottiene:   che ha come soluzioni :

I°
   caso  :      sostituendo in * * si ottiene :     da cui    non accettabile

 

II°
caso :       sostituendo in * * si ottiene :    da cui 

Sostituendo in *  si ottiene :    ossia